I – Logarithme népérien d’un réel strictement positif
D’après le corrolaire du théorème des valeurs intermédiaires, quelque soit le ℝ strictement positif k de l’équation ex = k admet une solution et une seule « a » dans ℝ.
Définition:
(1) soit k un ℝ > 0, on appelle logarithme népérien de k, l’unique solution de l’équation ex = k. On note cette solution ln(k) qui se dit « logarithme népérien de k« .
(2) la fonction ln est la fonction qui, à tout ℝ > 0 x, associe y = ln(x). Ainsi, y = ln(x) et x>0 <=> ey = x.
Dans un repère orthonormé, ln et exponentielle sont symètrique l’une de l’autre par rapport à la droite y = x.
| x | e-1 | 1 | 2 | e | e3 |
| ln(x) | -1 | 0 | ln(2) | 1 | 3 |
Propriété
Propriété
(1) la fonction ln est définie, continue et croissante sur ]0;+∞[
(2) pour tout ℝ x, ln(exp(x)) = x ce qui s’écrit ln(ex) = x
(3) pour tout ℝ x > 0, exp(ln(x)) = x ce qui s’écrit eln(x) = x
(4) pour tout ℝ a et b > 0, a = b équivait à ln(a) = ln(b)
(5) pour tout ℝ de a et b > 0, a < B équivaut à ln(a) < ln(b)
(6) 0 < x < 1 équivaut à ln(x) < 0 et x > 1 équivaut à ln(x) > 0
Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I telle que u(x) > 0 pour tout ℝ de x. La fonction définie sur I par f(x) = ln(u(x)) est dérivable sur I et pour tout ℝ x de I,
II – Relation fonctionnelle du logarithme népérien
Théorème: Pour tout ℝ a et b > 0, ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Propriétés: (1) pour tout entier n et tout ℝ a > 0, ln(an) = n*ln(a)
(2) pour tout ℝ a et b > 0,
(3) pour tout b > 0,
(4) pour tout ℝ a > 0,
(5) avec n entier relatif,
III – Relation fonctionnelle du logarithme népérien
Propriétés:
Conséquences: